矩阵总结
单位矩阵
在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为 单位矩阵 。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。
根据 单位矩阵 的特点，任何矩阵与 单位矩阵 相乘都等于本身，而且 单位矩阵 因此独特性在高等数学中也有广泛应用。
方阵
方块矩阵，也称 方阵、方矩阵或正方矩阵，是行数及列数皆相同的矩阵。n×n阶矩阵被称为n阶 方阵
逆矩阵
逆矩阵 （inverse matrix），又称反矩阵。在线性代数中，给定一个n阶方阵\mathbf{A}，若存在一个n阶方阵 \mathbf{B} ，使得\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{I}_n，其中\mathbf{I}_n为n阶单位矩阵，则称\mathbf{A}是可逆的，且\mathbf{B}是\mathbf{A}的 逆矩阵 ，记作\mathbf{A} ^{-1}。
只有方阵（n×n 的矩阵）才可能有 逆矩阵 。若方阵\mathbf{A}的 逆矩阵 存在，则称\mathbf{A}为非奇异方阵或可逆方阵。
与行列式类似，逆矩阵 一般用于求解联立方程组。
性质
- \left (A^{-1}\right )^{-1}=A
- (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}\times A^{-1}
- (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
- \left (A^\mathrm{T} \right )^{-1}=\left (A^{-1} \right )^{\mathrm{T}}（A^{\mathrm{T}}为A的转置）
- \det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}（det为行列式）
内积（点积）
点积（Dot Product）又称数量积或标量积（Scalar Product），是一种接受两个等长的数字序列（通常是坐标向量）、返回单个数字的代数运算。在欧几里得几何中，两个笛卡尔坐标向量的点积常称为 内积
从代数角度看，先对两个数字序列中的每组对应元素求积，再对所有积求和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。这两种定义在笛卡尔坐标系中等价。
点积的名称源自表示点乘运算的点号（{\displaystyle a\cdot b}），读作{\displaystyle a\ dot\ b}，标量积的叫法则是在强调其运算结果为标量而非向量。向量的另一种乘法是叉乘（{\displaystyle a\times b}），其结果为向量，称为叉积或向量积。
点积是 内积 的一种特殊形式。
代数定义
两个向量{\displaystyle {\vec {a}}=[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}]}和{\displaystyle {\vec {b}}=[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]}的点积定义为：
\vec{a}\cdot \vec{b}=\sum\limits_{i=1}^{n} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n 这里的Σ是求和符号，而n是向量空间的维数。
例如，两个三维向量{\displaystyle \left[1,3,-5\right]}和{\displaystyle \left[4,-2,-1\right]}的点积是
{\displaystyle {\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=(1)(4)+(3)(-2)+(-5)(-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}} 点积还可以写为：
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}{\vec {b}}^{T}}。 这里，{\displaystyle {\vec {b}}^{T}}是行向量\vec{b}的转置。
使用上面的例子，一个1×3矩阵（行向量）乘以一个3×1矩阵（列向量）的行列式就是结果(通过矩阵乘法得到1×1矩阵):
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\end{bmatrix}}=3}。
几何定义
在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \;
这里 |\vec{x}| 表示\vec{x}的模（长度），\theta 表示两个向量之间的角度。
注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，\vec{a}和\vec{b}的夹角是通过上述等式定义的。
这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若\vec{a}和\vec{b}都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的 夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：
\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\vec{a}| \, |\vec{b}|}
这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。
性质
点积具有以下性质。
-
满足交换律：
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}
从定义即可证明（\theta 为a与b的夹角）：
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\left\|{\vec {a}}\right\|\left\|{\vec {b}}\right\|\cos \theta =\left\|{\vec {b}}\right\|\left\|{\vec {a}}\right\|\cos \theta ={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}
-
对向量加法满足分配律：
\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}
-
点积是双线性算子：
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot (r{\vec {b}}+{\vec {c}})=r({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})+({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})}
-
在乘以标量时满足：
(c_1\vec{a}) \cdot (c_2\vec{b}) = (c_1c_2) (\vec{a} \cdot \vec{b})
-
不满足结合律。 因为标量（{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}）与向量（\vec{c}）的点积没有定义，所以结合律相关的表达式{\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}} 和 {\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})} 都没有良好的定义
外积（叉积）
在数学和向量代数领域，叉积（Cross product）又称向量积（Vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号 \times。与点积不同，它的运算结果是向量。
对于线性无关的两个向量 \mathbf {a} 和 \mathbf {b} ，它们的叉积写作 {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }，是 \mathbf {a} 和 \mathbf {b} 所在平面的法线向量，与 \mathbf {a} 和 \mathbf {b} 都垂直。
代数性质
对于任意三个向量 \mathbf {a} 、\mathbf {b} 、\mathbf {c} ，
-
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} }
-
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {0} =\mathbf {0} }
-
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} }（反交换律）
-
{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} }（加法的左分配律）
-
{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} }（加法的右分配律）
-
{\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )}
-
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} }
-
{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {b} \times \mathbf {a} |}
-
{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{vmatrix}}}（拉格朗日恒等式）
一般来说，向量叉积不遵守约简律，即 {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} } 不表示{\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {c} }。此外，{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} } 不表示 {\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} } 或 {\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {0} }。
但对于两个非零向量 \mathbf {a} 和 \mathbf {b}:
- {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {0} } 当且仅当 \mathbf {a} 平行于 \mathbf {b}
欧式变换
假设存在两个坐标系：一个世界坐标系，定义为某个墙角和它的三条边，并是一个惯性系；一个机器人坐标系，是一个随机器人移动的坐标系。假设机器人观察到了某个向量\mathbf {P} , 它在这两个坐标系中分别有一套坐标。前面说了，向量是一个客观存在的实体，那么必然有一个关系能够将这两套坐标联系起来。
这个关系就是欧式变换。因为机器人的运动是一个刚体运动，所以同一个向量在不同坐标系下的模长和方向都不会发生变化。这样一个欧式变换就是由一个旋转和一个平移两部分组成。
标准正交基
在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis）是元素两两正交的基。称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基或"规范正交基"（Orthonormal basis）。
在欧几里德空间{\mathbb{R}}^{{3}}中，
e1=\begin{bmatrix}
1\\
0\\
0
\end{bmatrix}
e2=\begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}
e3=\begin{bmatrix}
0\\
0\\
1
\end{bmatrix},
[e1,e2,e3]组成一个标准正交基,即：
\begin{bmatrix}
1 &0 &0\\
0 &1 &0\\
0 &0 &1
\end{bmatrix}